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\title{Skript ``Mathe für Informatiker III"}
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\begin{document}

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\tableofcontents

\section{Wahrscheinlichkeitstheorie}

\subsection{Die Ungleichung von Markov}

\clearpage

\begin{theorem} \thmtitle{Die Ungleichung von Markov} Sei $X$ eine nichtnegative Zufallsvariable; d.h. $X(\omega) \ge 0$ für alle $\omega \ni \Omega$, und sei $c>0$. Dann 
\[
	\Prob(X \ge c) \le \frac{\E(X)}{c}.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis im Fall von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen]
	\begin{align*}
		\E(X) & = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \Prob(\omega) 
		\\ & = \sum_{\omega \in \Omega \sodass X(\omega) \ge c} X(\omega) \Prob(\omega) + \sum_{\omega \in \Omega \sodass  X(\omega) < c} X(\omega) \Prob(\omega) 
		\\ & \ge \sum_{\omega \in \Omega \sodass X(\omega) \ge c} X(\omega) \Prob(\omega)
		\\ & \ge c \sum_{\omega \in \Omega \sodass X(\omega) \ge c} \Prob(\omega)
		\\ & = c \Prob(X \ge c).
	\end{align*}
	Also gilt $\E(X) \ge c \Prob(X \ge c)$, woraus die Behauptung folgt.
\end{proof}

\end{document}